Gráficos de Sólidos de Revolução com o GeoGebra 5

Neste artigo tentarei explicar como você pode fazer para construir sólidos de revolução com o GeoGebra 5 (ou superior). Para tal, vamos precisar daquelas matrizes de rotação estudadas em disciplinas de Álgebra Linear (ou Geometria Analítica). Vamos considerar uma situação como a mostrada na figura seguinte.

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Considerando O como a origem, o eixo Ox é o vermelho, o Oy é o verde e o Oz é o azul.

No caso do exemplo mostrado na figura anterior, temos uma curva no plano yz, logo, a abscissa é 0. Nesse caso em particular estamos usando a função $z=cos(y)+y$ e para produzir esta curva 3D no GeoGebra escrevemos no Campo de Entrada

Curva[0, t, cos(t) + t, t, 0, 4]

Baixe o arquivo que contém esta construção CLICANDO AQUI.

Note a partir daí que um ponto qualquer sobre esta curva tem a forma (0, t, cos(t)+t). Vamos fazer algumas considerações a respeito da rotação em torno dos eixos.

Matrizes de Rotação.

Não vamos entrar no mérito do porquê destas matrizes ser como são. Podemos fazer isso em outro momento. Vamos apenas relembrar como são cada uma das matrizes e ver elas trabalhando a serviço de uma parametrização de uma superfície de revolução.

Então, vamos relembrar que para um t qualquer, (x(t), y(t), z(t)) é um vetor e a matriz da transformação linear que gira esse vetor em torno do eixo Ox um ângulo $\beta$ no sentido anti-horário é

$$\left( \begin{array}{ccc}
1 & 0&0 \\
0 & \cos(\beta)&-\sin(\beta)\\
0 &\sin(\beta)&\cos(\beta)
\end{array} \right)$$

e para girar em torno do eixo Oy

$$\left( \begin{array}{ccc}
\cos(\beta)&0 & \sin(\beta)\\
0 & 1&0 \\
-\sin(\beta)&0 &\cos(\beta)
\end{array} \right)$$

e finalmente para girar em torno do eixo Oz a matriz de rotação é

$$\left( \begin{array}{ccc}
\cos(\beta)&-\sin(\beta)&0\\
\sin(\beta)&\cos(\beta) &0\\
0 & 0&1
\end{array} \right)$$

É simples assim… 🙂

Rotacionando um ponto em torno de um eixo

É só disso que precisa para a parametrização de uma superfície de revolução. Vamos produzir uma ilustração fazendo com que um ponto específico seja rotacionado. Pense em um ponto A sobre a curva mostrada na figura anterior. Então esse ponto/vetor tem coordenadas (x(A),y(A),z(A)), correto? Se queremos rotacionar esse vetor um ângulo $\beta$ em torno do eixo Oy então no novo vetor terá coordenadas

$$\left( \begin{array}{ccc}
\cos(\beta)&0 & -\sin(\beta)\\
0 & 1&0 \\
\sin(\beta)&0 &\cos(\beta)
\end{array} \right).
\left( \begin{array}{c}
x(A)\\
y(A) \\
z(A)
\end{array} \right)$$

Ao multiplicarmos essas matrizes encontraremos

$$(x(A) \cos(\beta) – z(A) \sin(\beta), y(A), x(A) \sin(\beta) + z(A) \cos(\beta))$$

Esse é o comando que deve escrever no Campo de Entrada do GeoGebra para obter um novo ponto obtido girando um ângulo $\beta$ em torno do Eixo Oy.

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Ao arrastar o controle deslizante $\beta$ você verá o ponto A girar ao redor do eixo Oy.

Veja essa ilustração adicionada do vetor e um seletor para controlar a medida de $\beta$ baixando ESTE ARQUIVO.

Rotacionando a curva parametrizada

E o que muda para rotacionar a curva toda? Praticamente nada. Se a curva tem parametrizaçao (x(t), y(t),z(t)) então a parametrização da superfície de revolução para a rotação em torno do eixo Oy pode ser obtida do seguinte modo

$$\left( \begin{array}{ccc}
\cos(\beta)&0 & -\sin(\beta)\\
0 & 1&0 \\
\sin(\beta)&0 &\cos(\beta)
\end{array} \right).
\left( \begin{array}{c}
x(t)\\
y(t) \\
z(t)
\end{array} \right)$$

Vamos tomar como exemplo a curva dada no início deste artigo. A parametrização da curva era (0,t,cos(t)+t) e assim, para girar essa curva em torno do eixo Oy precisamos encontrar

$$\left( \begin{array}{ccc}
\cos(\beta)&0 & -\sin(\beta)\\
0 & 1&0 \\
\sin(\beta)&0 &\cos(\beta)
\end{array} \right).
\left( \begin{array}{c}
0\\
t \\
\cos(t)+t
\end{array} \right)$$

Multiplicando essas matrizes encontraremos

$$(-\sin(\beta).(\cos(t)+t),\; t\; ,\cos(\beta).(\cos(t)+t))$$

Note que temos duas variáveis. O comando do GeoGebra que gera superfície tem a seguinte estrutura:

Superfície[ <Expressão>, <Expressão>, <Expressão>, <Variável 1>, <Valor Inicial>, <Valor Final>, <Variável 2>, <Valor Inicial>, <Valor Final> ]

Usando $b$ no lugar de $\beta$ a parametrização da superfície ficará assim (digite no Campo de Entrada):

Superfície[-sin(b)*(cos(t)+t),t,cos(b)*(cos(t)+t),t,0,4,b,0,2*pi ]

Note que estamos fazendo $0\leq t\leq 4$ e $0\leq b \leq  2\pi$. O resultado será o que vê a seguir e pode ver e modifica a visualização segurando o botão direito clicado e arrastando. Basta baixar o arquivo do GeoGebra CLICANDO AQUI.

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Note que a superfície está “aberta”. Podemos considerar também uma parametrização para a tampa e o fundo desta superfície, mas para que esta pequena nota não fique muito extensa, vamos deixar isso para uma outra postagem.

Tudo de bom
Luís Cláudio LA

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