Um problema simples e algumas reflexões sobre o porquê estudar diversos assuntos

Suponha que tenha ido passar um final de semana na chácara de um amigo seu. Lá tem um muro. Seu anfitrião comprou 100 metros de uma tela para construir um cercado de tal forma que aproveite o muro existente. Ele quer também que a criação tenha o maior espaço possível, ou seja, quer que a área cercada seja máxima. Como resolveria esse problema?

Geralmente esta resolução de qualquer problema se dá, basicamente, em quatro passos ilustrados na figura seguinte.

Você poderia dar diversas soluções para esse problema como fazer um lado de 2 metros e 96 m de comprimento; poderia ser também 4 metros de largura e 92 metros de comprimento ou diversas outras configurações de largura e comprimento. Note que o formato desse cercado ficará muuuitooo comprido com essas medidas e talvez não seja o ideial para colocar lá alguma criação como galinhas, porcos ou outra qualquer. Como então resolver esse problema? Resolver o problema aqui é encontrar uma forma de fazer o cercado de tal forma que 100 metros de tela sejam usados aproveitando o muro já existente e de tal forma que a área seja máxima.

Estamos então diante do PROBLEMA REAL (veja a figura anterior). Em geral estamos diante de um problema no mundo real. Não esqueço a música dos pássaros. Precisamos levar esse problema para o mundo matemático. Costumamos chamar isso de “matematizar” o problema (Passo 1). Então, como fazer isso? Humm… Um modelo representativo da situação real pode ajudar. Um esboço ou desenho envolvendo os dados principais do problema, o que conhecemos e o que desejamos conhecer é interessante. Veja se a ilustração seguinte ajuda.

O que está marcado na cor azul-elétrico (essa cor quem me disse o nome dela foi o CorelDRAW, software que usei para construir as figuras usadas nesta postagem) é o que representa o cercado feito com a tela. Bom, como nosso anfitrião disse que havia comprado 100 metros de tela então o comprimento total da parte que está marcada em azul-elétrico deve ser 100, mas… Quanto deve medir cada lado? Hummmm… Esse é o problema. Eu não sei quanto mede nada. Só sei que tudo (comprimento da parte azul-elétrico) deve ser 100 m. Então, vamos lançar mão de um recurso comum em matemática que são as chamadas variáveis. Usaremos uma letra para representar um número desconhecido. É corriqueiro o uso do “x”, mas pode ser qualquer símbolo. O importante é saber o que ele significa. Vamos dizer então que o lado menor tenha medida “x”. Ora… Uma rápida inspeção nos leva a concluir que o outro lado menor também deve ser “x”. Ficamos então com a seguinte situação.

Legal… Agora, como eu devo escrever a medida do lado maior do retângulo? Poderíamos chamar de “y”? Claro, mas há alguma relação entre “x” e “y”? Pense bem. A parte de cor azul-elétrico deve ter comprimento 100, não? Pois bem, se é assim,

$$x+y+x=100$$

Agora vem o que você, teoricamente, aprendeu nas aulas de matemática e que geralmente não se dá muita atenção. Nós podemos escrever ali o “y” em função do “x” e encontrar que

$$y=100-2x$$
Legal… Agora temos o que está anotado na figura seguinte:

Hummm… Vamos lembrar o que queremos: determinar as medidas dos lados que fazem com que a área seja máxima. Quando temos números fixos o cálculo da área de um retângulo é muito simples. Estudamos na escola isso também, embora muitos acharam bobagem conhecer como se calcula área de regiões planas por não ver onde isso seria útil em seu dia-a-dia. A área de um retângulo pode ser calculada multiplicando as medidas de dois lados consecutivos, comumente falado: multiplica-se a medida da base pela medida da altura. Temos ali uma porção de letras, mas… não se esqueça que estas letras representam números (no caso os valores possíveis de “x” são de 0 a 50, concorda?). Aquela música dos pássaros realmente foi muito bonita, não? Como seria então a medida da área? Repare na figura anterior. Vamos usar uma outra letra para “guardar” o valor da área. A letra que será usada é a letra “A”. Assim, podemos escrever:

$$A=x.(100-2x)$$

Aqui você precisa do que seus professores de matemática ensinaram lá na 7ª série (8º ano) sobre multiplicação de monômios, o que é parte literal e coeficientes; precisa também saber o básico de propriedades de potências que seus professores vêm falando nisso desde a 5ª série (6º ano) e muitos acharam uma bobagem estudar aquilo porque não usariam em seu dia-a-dia. Supondo assimilou o que viu nas aulas de matemática chegará à conclusão que poderá escrever a expressão anterior assim:

$$A=100x-2x^2$$

e mais… Verá que a variável “A” depende da variável “x” e assim terá a função

$$A(x)=100x-2x^2=-2x^2+100x$$

Função…. função… Essa palavrinha não é estranha a você, não é? Se já passou da 8ª série (9º ano) já viu sobre isso e na época até falou para seu professor que não precisaria de função em seu dia-a-dia. Pois bem, estamos diante de uma função quadrática (do 2º grau).

Vejamos como ficou nosso problema. Encontrar as dimensões do cercado que faz com que a área seja máxima é o mesmo que encontrar o valor de “x” que maximiza a função $A(x)=100x-2x^2$ e o nosso problema está “matematizado”, isto é, transformamos um problema real em um problema matemático. Acompanhe na figura nossa posição. No passo 2 vamos usar ferramentas matemáticas para resolver o problema matemático.

Agora, esquecemos o problema da cerca. Nosso propósito é encontrar o valor de “x” que maximiza a função $A(x)=100x-2x^2$. Aqui, há alguns conceitos que foram passados pelo seu professor quando estudou funções quadráticas (de 2º grau). Será que deu a devida importância? Veja só alguns assuntos que devem ser dominados para a resolução desse problema.
A função $A(.)$ tem domínio (para esse problema) em $[0,\;50]$
O gráfico da função $A(.)$ é uma parábola convexa, isto é, com a concavidade voltada para baixo e sendo assim naturalmente assume um valor máximo
O valor máximo da função ocorrerá no vértice da parábola.
A abscissa do vértice de uma parábola $f(x)=ax^2+bx+c$ pode ser encontrada assim $x_v=\frac{-b}{2a}$ e $y_v=-\frac{\Delta}{4a}$ onde $V=(x_v,\;y_v)$ é o vértice da parábola e $\Delta=b^2-4ac$.
Hummm… Apareceu uma porção de palavrinhas estranhas aí, não? Parábola? O que é isso? Vértice? Tsc tsc tsc… Abscissa? 😮 Como é mesmo o nome? Domínio? Você já viu essa palavra… Mas o que ela significa mesmo? Pois bem… Aqui vem a questão de você ser “alfabetizado” nesta linguagem. Se eu falo para você: o eixo das abscissas é o horizontal e o das ordenadas é o vertical; no eixo das abscissas vamos marcar os valores de “x” e no eixo das ordenadas vamos marcar os valores de $A(x)$. Se você não faz ideia do que seja eixo das abscissas e eixo das ordenadas, eu estarei falando uma linguagem estranha para você e assim não haverá comunicação, concorda? Entretanto para alguém “alfabetizado” em matemática (das mais básicas), deverá vir à sua mente algo como mostramos na figura seguinte.

Para cada valor de “x” há um valor de “y” correspondente. Estes dois valores formarão um par (x,y) que tem uma correspondência biunívoca com os pontos do plano coordenado (outra palavra estranha?). Se você dispusesse de muuuitooo tempo e paciência poderia ir colocando x valendo 0, 1, 2, 3, … até 50 e depois de marcar os pares (x,y) encontraria algo semelhante ao que está na figura seguinte.

Não temos tempo para fazer isso. Essa seria uma forma “burra” de resolver o problema. Aproveitamos o gráfico anterior e perguntamos: você sabe “ler” o que o gráfico diz? Os números que aparecem na horizontal representam o quê? E os números que aparecem na vertical? O que representam?
Os números no eixo horizontal representam a medida do lado menor do cercado.
Os números no eixo vertical representam a área.
Vamos então aos assuntos que são vistos em sala de aula e que deverá conhecer para resolver esse problema:

Saber o que significam os números que aparecerão na horizontal e na vertical (medida do menor lado do retângulo e a área, respectivamente)
Saber construir o gráfico de uma função quadrática de forma rápida. Para isso basta conhecer o que representa os coeficientes “a”, “b” e “c” para o gráfico da função quadrática $f(x)=ax^2+bx+c$ a saber: o sinal de “a” indica se a parábola tem concavidade voltada para cima ou para baixo; “b” indica se a parábola cruza com o eixo das abscissas na parte crescente ou decrescente; “c” indica onde o gráfico cruza com o eixo das ordenadas e o sinal de $\Delta$ indica em quantos pontos o gráfico cruza com o eixo das abscissas. Tudo isso é ensinado nas aulas de matemática.
Saber que o valor máximo está na ordenada do ponto chamado Vértice e que esse ponto é o que fica na posição mais alta (falando sem formalismo) da parábola, no caso de ela ter a concavidade voltada para baixo.
Saber que essa ordenada do vértice representa o valor máximo da área.
Saber que o valor de “x” no eixo das abscissas que geral o valor máximo pode ser calculado assim: $x=-\frac{b}{2a}$ (considerando $A(x)=ax^2+bx+c$ a forma genérica).

Então, o valor de “x” que procuramos (aquele que faz com que a área seja máxima) é

$$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2\cdot (-2)}=\frac{-100}{-4}=25$$

Ora, ora… Acabamos de encontrar o valor de “x” que faz com que a função $A(x)=100x-2x^2$ assuma o valor máximo. Estamos então diante da solução do problema matemático. Acompanhe nossa posição na figura seguinte.

Lembre-se do que escrevemos anteriormente:

Encontrar as dimensões do cercado que faz com que a área seja máxima é o mesmo que encontrar o valor de “x” que maximiza a função $A(x)=100x-2x^2$ e o nosso problema está “matematizado”, isto é, transformamos um problema real em um problema matemático.
Veja se compreende que o valor de “x” que faz com que $A(x)$ seja máximo é $x=25$. Esta é a solução do problema matemático. Agora, vamos ao passo seguinte que chamamos (no caso, eu, Luís Cláudio LA) de “Realização”. Inventei o uso desta palavra aqui para representar o sentido de transformar algo do mundo matemático em algo do mundo real. Vamos então ao Passo 3.

A variável “x” representava a medida do lado menor do lado do cercado, correto? Vamos ver a figura novamenrte.

Então, troque “x” pelo valor que encontrou. Para a expressão $100-2x$, se $x=25$ ficaremos com

$$100-2\cdot 25=100-50=50$$

Após a substituição ficaremos com o que pode ver na figura seguinte

O último passo (validação dos dados obtidos) é uma etapa geralmente ignorada pelos estudantes, mas penso que é importante também. No caso, o que precisa verificar nesse caso é apenas se de fato resolveu o problema. Adicionando os números 25; 50 e 25 teremos os 100 metros de tela dados inicialmente. O problema foi resolvido.

Essa etapa evita que você divida 9001 reais com três pessoas e encontre que cada um deveria receber R$ 300,33

Considerações Finais

Os conceitos são passados para você, aluno, em sala de aula aos poucos pelo seu professor. Você não aprenderá em uma única aula: construir gráfico de função quadrática, encontrar raízes, encontrar eixo de simetria, vértice da parábola, ponto de máximo, valor máximo etc… Essas coisas são ensinadas aos poucos e você ser imediatista e dizer que não é importante estudar porque não vê utilidade em seu dia-a-dia não ajuda em nada.

Por que se preocupar tanto com a aplicação direta do que estuda no seu cotidiano? Para a maioria das coisas você não verá esta aplicação. Você não usa em seu dia-a-dia o conhecimento que obteve em Ciências sobre plantas Briófitas e Pteridófitas, não usa em seu dia-a-dia o que o que aprendeu sobre colocação pronominal; não melhora o seu dia-a-dia saber sobre a participação do Brasil na 1ª Guerra Mundial e o episódio que ficou conhecido como A Batalha das Toninhas (nesse caso talvez até melhore por conta das risadas…) ; não melhora o seu dia-a-dia, saber que o Pico da Neblina fica em Minas Gerais ou no Amazonas e N outros assuntos vistos na escola.

Entretanto, o fato de você não usar DIRETAMENTE em seu dia-a-dia não faz disso coisas inúteis. É importante que você conheça um pouco sobre tudo. Conhecer sobre a fauna e a flora, como os organismos funcionam, como se reproduzem, como se alimentam… tudo isso é importante.

Saber o que é um verbo transitivo ou intransitivo também é importante. Lógico que com relação a esse último exemplo você nunca sentirá falta se não escrever, mas você precisará escrever em sua vida, então, é bom saber como a língua portuguesa funciona. Conhecer o que sua professora de Língua Portuguesa ensina em sala de aula o ajudará a identificar, por exemplo, que é errado escrever “Me diga se está tudo bem”; o correto seria escrever “Diga-me se está tudo bem” (procure saber mais sobre as Ênclises em Colocação Pronominal).

Eu citei o episódio da Batalha das Toninhas anteriormente, mas a História de um modo geral é muito importante. Veja só uma situação para você pensar um pouco. No final da Segunda Guerra Mundial a Alemanha e o Japão estavam aniquilados. Seu parque industrial totalmente destruído. O Brail não foi bombardeado nem nada e estava relativamente inteiro ao final da referida guerra. Entretanto, 60 anos depois o Japão e a Alemanha são potências mundiais, estão na ponta na produção de tecnologia (computadores, equipamentos, carros etc.). Saíram do zero e nos passaram em 60 anos. Por quê? Não é importante entender (também) isso? Claro que sim. O mesmo ocorre com as demais disciplinas.

Você precisa ter uma base de conhecimento que é comum a todos. Mesmo que vá ser advogado, é interessante conhecer, além da língua portuguesa, um pouco sobre biologia, matemática, física etc. Não pode querer ser um pessoa alienada. Me recuso a acreditar nisso.

Voltando agora aos domínios da matemática, tudo o que estuda foi criado em função de um problema. Nada foi criado ao acaso. Qualquer conteúdo visto (em matemática) na escola PODE SER COLOCADO NO CONTEXTO DE UM PROBLEMA. Não significa, portanto, APLICAR EM SEU DIA-A-DIA. São coisas diferentes. Uma coisa é você usar em seu dia-a-dia e a outra é ter aplicação, servir ou ter servido a algum propósito.

Por exemplo: calcular a largura de um rio usando um teodolito (aparelho usado para medir ângulos) e uma trena sem atravessar o rio ilustra uma aplicação de conceitos estudados em trigonometria. Com esses mesmo conceitos podemos descobrir o raio da Terra; com conceitos de semelhança de triângulos podemos calcular  a distância da Terra à Lua, da Lua a Sol etc., mas entenda que são situações onde você é colocado diante de um problema e o que aprendeu na escola passa a ser ferramenta para resolver aquele problema, mas aquele problema NÃO É UM PROBLEMA DE SEU DIA-A-DIA.

Então, pense antes de fazer aquela célebre pergunta: professor, onde eu usarei isso em meu dia-a-dia? Melhor seria você perguntar: professor, isso que estamos estudando é ferramenta para resolver que tipo de problema? Que tal? Que tal aprender essa linguagem das ciências? Que tal ser alfabetizado nesta linguagem? Depende também de você. Você tem que querer. Sabe qual é a primeira premissa para se aprender matemática? Querer aprender matemática. Não estou dizendo que é fácil e sim que se você estiver disposto a aprender então seu professor tem uma chance de ter sucesso.

Ufa… Acho que falei demais…

Um abraço a todos
Luís Cláudio LA

 

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Um problema simplessssss

Suponha que tenha ido passar um final de semana na chácara de um amigo seu. Lá tem um muro. Seu anfitrião comprou 100 metros de uma tela para construir um cercado de tal forma que aproveite o muro existente. Ele quer também que a criação tenha o maior espaço possível, ou seja, quer que a área cercada seja máxima. Como resolveria esse problema?
Geralmente esta resolução de qualquer problema se dá, basicamente, em quatro passos ilustrados na figura seguinte.
Você poderia dar diversas soluções para esse problema como fazer um lado de 2 metros e 96 m de comprimento; poderia ser também 4 metros de largura e 92 metros de comprimento ou diversas outras configurações de largura e comprimento. Note que o formato desse cercado ficará muuuitooo comprido com essas medidas e talvez não seja o ideial para colocar lá alguma criação como galinhas, porcos ou outra qualquer. Como então resolver esse problema? Resolver o problema aqui é encontrar uma forma de fazer o cercado de tal forma que 100 metros de tela sejam usados aproveitando o muro já existente e de tal forma que a área seja máxima.
Estamos então diante do PROBLEMA REAL (veja a figura anterior). Em geral estamos diante de um problema no mundo real. Não esqueço a música dos pássaros. Precisamos levar esse problema para o mundo matemático. Costumamos chamar isso de “matematizar” o problema (Passo 1). Então, como fazer isso? Humm… Um modelo representativo da situação real pode ajudar. Um esboço ou desenho envolvendo os dados principais do problema, o que conhecemos e o que desejamos conhecer é interessante. Veja se a ilustração seguinte ajuda.
O que está marcado na cor azul-elétrico (essa cor quem me disse o nome dela foi o CorelDRAW, software que usei para construir as figuras usadas nesta postagem) é o que representa o cercado feito com a tela. Bom, como nosso anfitrião disse que havia comprado 100 metros de tela então o comprimento total da parte que está marcada em azul-elétrico deve ser 100, mas… Quanto deve medir cada lado? Hummmm… Esse é o problema. Eu não sei quanto mede nada. Só sei que tudo (comprimento da parte azul-elétrico) deve ser 100 m. Então, vamos lançar mão de um recurso comum em matemática que são as chamadas variáveis. Usaremos uma letra para representar um número desconhecido. É corriqueiro o uso do “x”, mas pode ser qualquer símbolo. O importante é saber o que ele significa. Vamos dizer então que o lado menor tenha medida “x”. Ora… Uma rápida inspeção nos leva a concluir que o outro lado menor também deve ser “x”. Ficamos então com a seguinte situação.
Legal… Agora, como eu devo escrever a medida do lado maior do retângulo? Poderíamos chamar de “y”? Claro, mas há alguma relação entre “x” e “y”? Pense bem. A parte de cor azul-elétrico deve ter comprimento 100, não? Pois bem, se é assim,
$$x+y+x=100$$
Agora vem o que você, teoricamente, aprendeu nas aulas de matemática e que geralmente não se dá muita atenção. Nós podemos escrever ali o “y” em função do “x” e encontrar que
$$y=100-2x$$
Legal… Agora temos o que está anotado na figura seguinte:
Hummm… Vamos lembrar o que queremos: determinar as medidas dos lados que fazem com que a área seja máxima. Quando temos números fixos o cálculo da área de um retângulo é muito simples. Estudamos na escola isso também, embora muitos acharam bobagem conhecer como se calcula área de regiões planas por não ver onde isso seria útil em seu dia-a-dia. A área de um retângulo pode ser calculada multiplicando as medidas de dois lados consecutivos, comumente falado: multiplica-se a medida da base pela medida da altura. Temos ali uma porção de letras, mas… não se esqueça que estas letras representam números (no caso os valores possíveis de “x” são de 0 a 50, concorda?). Aquela música dos pássaros realmente foi muito bonita, não? Como seria então a medida da área? Repare na figura anterior. Vamos usar uma outra letra para “guardar” o valor da área. A letra que será usada é a letra “A”. Assim, podemos escrever:
$$A=x.(100-2x)$$
Aqui você precisa do que seus professores de matemática ensinaram lá na 7ª série (8º ano) sobre multiplicação de monômios, o que é parte literal e coeficientes; precisa também saber o básico de propriedades de potências que seus professores vêm falando nisso desde a 5ª série (6º ano) e muitos acharam uma bobagem estudar aquilo porque não usariam em seu dia-a-dia. Supondo assimilou o que viu nas aulas de matemática chegará à conclusão que poderá escrever a expressão anterior assim:
$$A=100x-2x^2$$
e mais… Verá que a variável “A” depende da variável “x” e assim terá a função
$$A(x)=100x-2x^2=-2x^2+100x$$
Função…. função… Essa palavrinha não é estranha a você, não é? Se já passou da 8ª série (9º ano) já viu sobre isso e na época até falou para seu professor que não precisaria de função em seu dia-a-dia. Pois bem, estamos diante de uma função quadrática (do 2º grau).
Vejamos como ficou nosso problema. Encontrar as dimensões do cercado que faz com que a área seja máxima é o mesmo que encontrar o valor de “x” que maximiza a função $A(x)=100x-2x^2$ e o nosso problema está “matematizado”, isto é, transformamos um problema real em um problema matemático. Acompanhe na figura nossa posição. No passo 2 vamos usar ferramentas matemáticas para resolver o problema matemático.
Agora, esquecemos o problema da cerca. Nosso propósito é encontrar o valor de “x” que maximiza a função $A(x)=100x-2x^2$. Aqui, há alguns conceitos que foram passados pelo seu professor quando estudou funções quadráticas (de 2º grau). Será que deu a devida importância? Veja só alguns assuntos que devem ser dominados para a resolução desse problema.
  1. A função $A(.)$ tem domínio (para esse problema) em $[0,\;50]$
  2. O gráfico da função $A(.)$ é uma parábola convexa, isto é, com a concavidade voltada para baixo e sendo assim naturalmente assume um valor máximo
  3. O valor máximo da função ocorrerá no vértice da parábola.
  4. A abscissa do vértice de uma parábola $f(x)=ax^2+bx+c$ pode ser encontrada assim $x_v=\frac{-b}{2a}$ e $y_v=-\frac{\Delta}{4a}$ onde $V=(x_v,\;y_v)$ é o vértice da parábola e $\Delta=b^2-4ac$.
Hummm… Apareceu uma porção de palavrinhas estranhas aí, não? Parábola? O que é isso? Vértice? Tsc tsc tsc… Abscissa? 😮 Como é mesmo o nome? Domínio? Você já viu essa palavra… Mas o que ela significa mesmo? Pois bem… Aqui vem a questão de você ser “alfabetizado” nesta linguagem. Se eu falo para você: o eixo das abscissas é o horizontal e o das ordenadas é o vertical; no eixo das abscissas vamos marcar os valores de “x” e no eixo das ordenadas vamos marcar os valores de $A(x)$. Se você não faz ideia do que seja eixo das abscissas e eixo das ordenadas, eu estarei falando uma linguagem estranha para você e assim não haverá comunicação, concorda? Entretanto para alguém “alfabetizado” em matemática (das mais básicas), deverá vir à sua mente algo como mostramos na figura seguinte.
Para cada valor de “x” há um valor de “y” correspondente. Estes dois valores formarão um par (x,y) que tem uma correspondência biunívoca com os pontos do plano coordenado (outra palavra estranha?). Se você dispusesse de muuuitooo tempo e paciência poderia ir colocando x valendo 0, 1, 2, 3, … até 50 e depois de marcar os pares (x,y) encontraria algo semelhante ao que está na figura seguinte.
Não temos tempo para fazer isso. Essa seria uma forma “burra” de resolver o problema. Aproveitamos o gráfico anterior e perguntamos: você sabe “ler” o que o gráfico diz? Os números que aparecem na horizontal representam o quê? E os números que aparecem na vertical? O que representam?
Os números no eixo horizontal representam a medida do lado menor do cercado.
Os números no eixo vertical representam a área.
Vamos então aos assuntos que são vistos em sala de aula e que deverá conhecer para resolver esse problema:
  1. Saber o que significam os números que aparecerão na horizontal e na vertical (medida do menor lado do retângulo e a área, respectivamente)
  2. Saber construir o gráfico de uma função quadrática de forma rápida. Para isso basta conhecer o que representa os coeficientes “a”, “b” e “c” para o gráfico da função quadrática $f(x)=ax^2+bx+c$ a saber: o sinal de “a” indica se a parábola tem concavidade voltada para cima ou para baixo; “b” indica se a parábola cruza com o eixo das abscissas na parte crescente ou decrescente; “c” indica onde o gráfico cruza com o eixo das ordenadas e o sinal de $\Delta$ indica em quantos pontos o gráfico cruza com o eixo das abscissas. Tudo isso é ensinado nas aulas de matemática.
  3. Saber que o valor máximo está na ordenada do ponto chamado Vértice e que esse ponto é o que fica na posição mais alta (falando sem formalismo) da parábola, no caso de ela ter a concavidade voltada para baixo.
  4. Saber que essa ordenada do vértice representa o valor máximo da área.
  5. Saber que o valor de “x” no eixo das abscissas que geral o valor máximo pode ser calculado assim: $x=-\frac{b}{2a}$ (considerando $A(x)=ax^2+bx+c$ a forma genérica).
Então, o valor de “x” que procuramos (aquele que faz com que a área seja máxima) é
$$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2\cdot (-2)}=\frac{-100}{-4}=25$$
Ora, ora… Acabamos de encontrar o valor de “x” que faz com que a função $A(x)=100x-2x^2$ assuma o valor máximo. Estamos então diante da solução do problema matemático. Acompanhe nossa posição na figura seguinte.
Lembre-se do que escrevemos anteriormente:
Encontrar as dimensões do cercado que faz com que a área seja máxima é o mesmo que encontrar o valor de “x” que maximiza a função $A(x)=100x-2x^2$ e o nosso problema está “matematizado”, isto é, transformamos um problema real em um problema matemático.
Veja se compreende que o valor de “x” que faz com que $A(x)$ seja máximo é $x=25$. Esta é a solução do problema matemático. Agora, vamos ao passo seguinte que chamamos (no caso, eu, Luís Cláudio LA) de “Realização”. Inventei o uso desta palavra aqui para representar o sentido de transformar algo do mundo matemático em algo do mundo real. Vamos então ao Passo 3.
A variável “x” representava a medida do lado menor do lado do cercado, correto? Vamos ver a figura novamenrte.
Então, troque “x” pelo valor que encontrou. Para a expressão $100-2x$, se $x=25$ ficaremos com
$$100-2\cdot 25=100-50=50$$
Após a substituição ficaremos com o que pode ver na figura seguinte
O último passo (validação dos dados obtidos) é uma etapa geralmente ignorada pelos estudantes, mas penso que é importante também. No caso, o que precisa verificar nesse caso é apenas se de fato resolveu o problema. Adicionando os números 25; 50 e 25 teremos os 100 metros de tela dados inicialmente. O problema foi resolvido.
Essa etapa evita que você divida 9001 reais com três pessoas e encontre que cada um deveria receber R$ 300,33
Considerações Finais
Os conceitos são passados para você, aluno, em sala de aula aos poucos pelo seu professor. Você não aprenderá em uma única aula: construir gráfico de função quadrática, encontrar raízes, encontrar eixo de simetria, vértice da parábola, ponto de máximo, valor máximo etc… Essas coisas são ensinadas aos poucos e você ser imediatista e dizer que não é importante estudar porque não vê utilidade em seu dia-a-dia não ajuda em nada.
E quer saber de uma coisa: PARE COM ESSE NEGÓCIO DE APLICAÇÃO NO DIA-A-DIA. Você não usa em seu dia-a-dia o conhecimento que obteve em Ciências sobre plantas Briófitas e Pteridófitas, não usa em seu dia-a-dia o que o que aprendeu sobre colocação pronominal; não melhora o seu dia-a-dia saber sobre a participação do Brasil na 1ª Guerra Mundial e o episódio que ficou conhecido como A Batalha das Toninhas (nesse caso talvez até melhore por conta das risadas… é hilário kkkkkk) ; não melhora o seu dia-a-dia, saber que o Pico da Neblina fica em Minas Gerais ou no Amazonas e N outros assuntos vistos na escola.
Entretanto, o fato de você não usar DIRETAMENTE em seu dia-a-dia não faz disso coisas inúteis. É importante que você conheça um pouco sobre tudo. Conhecer sobre a fauna e a flora, como os organismos funcionam, como se reproduzem, como se alimentam… tudo isso é importante.
Saber o que é um verbo transitivo ou intransitivo também é importante. Lógico que com relação a esse último exemplo você nunca sentirá falta se não escrever, mas você precisará escrever em sua vida, então, é bom saber como a língua portuguesa funciona. Conhecer o que sua professora de Língua Portuguesa ensina em sala de aula o ajudará a identificar, por exemplo, que é errado escrever “Me diga se está tudo bem“; o correto seria escrever “Diga-me se está tudo bem” (procure saber mais sobre as Ênclises em Colocação Pronominal).
Eu citei o episódio da Batalha das Toninhas anteriormente, mas a História de um modo geral é muito importante. Veja só uma situação para você pensar um pouco. No final da Segunda Guerra Mundial a Alemanha e o Japão estavam aniquilados. Seu parque industrial totalmente destruído. O Brail não foi bombardeado nem nada e estava relativamente inteiro ao final da referida guerra. Entretanto, 60 anos depois o Japão e a Alemanhã são potências mundiais, estão na ponta na produção de tecnologia (computadores, equipamentos, carros etc.). Saíram do zero e nos passaram em 60 anos. Por quê? Não é importante entender (também) isso? Claro que sim. O mesmo ocorre com as demais disciplinas.
Você precisa ter uma base de conhecimento que é comum a todos. Mesmo que vá ser advogado, é interessante conhecer, além da língua portuguesa, um pouco sobre biologia, matemática, física etc. Não pode querer ser um pessoa alienada. Me recuso a acreditar nisso.
Voltando agora aos domínios da matemática, tudo o que estuda foi criado em função de um problema. Nada foi criado ao acaso. Qualquer conteúdo visto (em matemática) na escola PODE SER COLOCADO NO CONTEXTO DE UM PROBLEMA. Não significa, portanto, APLICAR EM SEU DIA-A-DIA. São coisas diferentes. Uma coisa é você usar em seu dia-a-dia e a outra é ter aplicação, servir ou ter servido a algum propósito.
Por exemplo: calcular a largura de um rio usando um teodolito (aparelho usado para medir ângulos) e uma trena sem atravessar o rio ilustra uma aplicação de conceitos estudados em trigonometria. Com esses mesmo conceitos podemos descobrir o raio da Terra; com conceitos de semelhança de triângulos podemos calcular  a distância da Terra à Lua, da Lua a Sol etc., mas entenda que são situações onde você é colocado diante de um problema e o que aprendeu na escola passa a ser ferramenta para resolver aquele problema, mas aquele problema NÃO É UM PROBLEMA DE SEU DIA-A-DIA.
Então, pense antes de fazer aquela célebre pergunta: professor, onde eu usarei isso em meu dia-a-dia? Melhor seria você perguntar: professor, isso que estamos estudando é ferramenta para resolver que tipo de problema? Que tal? Que tal aprender essa linguagem das ciências? Que tal ser alfabetizado nesta linguagem? Depende também de você. Você tem que querer. Sabe qual é a primeira premissa para se aprender matemática? Querer aprender matemática. Não estou dizendo que é fácil e sim que se você estiver disposto a aprender então seu professor tem uma chance de ter sucesso.
Ufa… Acho que falei demais…
Um abraço a todos
Luís Cláudio LA

Não há problema em termos dois pesos e duas medidas

Que relação há entre essa bela jovem ao lado e uma fala comum onde as pessoas dizem “não se pode ter dois pesos e duas medidas”? Vamos pensar um pouco sobre isso.

Incomoda-me ouvir as pessoas dizerem “Ah, mas aí está tendo dois pesos e duas medidas não pode”. Na verdade não há problema em se ter dois pesos e duas medidas. O problema é ter UM peso e DUAS medidas. A última foi a nossa presidenta falando que no caso do julgamento do mensalão usaram dois pesos e 19 medidas onde penso que ela está fazendo uso daquela figura de linguagem (ou de estilo, se preferir) chamada hipérbole (aquela do exagero), mas tenho quase certeza que ela tinha em mente dois pesos e duas medidas, fato que eu não vejo problema nenhum.

Para entender isso, pense em uma balança de braço como a que vê a seguir.

Esse é um tipo de balança que era muito encontrada em feiras livres. Já faz um bom tempo que não vejo uma destas feiras. Para falar a verdade aqui em Brasília eu nunca me deparei com uma dessas feiras (embora elas possam existir… eu apenas não vi). Entretanto saindo daqui para o interior já é possível encontrar essas feiras (mas boa parte dos feirantes usa balança eletrônica).

O funcionamento dessa balança consiste em colocar um “peso” de um lado (por exemplo, com massa de 1 kg) e no outro braço o que quer saber a massa (chamada por no cotidiano de ‘peso’). Daí, caso você chegue ao feirante e pede 1 kg de tomate, ele vai colocar em uma balança um ‘peso’ de 1 kg e no outro quantos tomates forem necessários até que a balança fique equilibrada, como mostra a figura a seguir.

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Aqui o ‘peso’ de 1 kg deu uma medida

Figura modificada. Foi obtida de http://www.smartkids.com.br/

Suponha que na figura anterior a balança esteja em equilíbrio. Nesse caso temos um ‘peso’ de 1 kg e como medida três tomates (ou seriam maçãs?). Se usar o ‘peso’ de 2 kg é lógico que terá outra medida, não? Então, não há problema em se ter dois pesos e duas medidas.

Agora vamos voltar àquela bela jovem do início deste artigo. Suponha que eu seja o feirante e um homem qualquer venha até minha banca para comprar 1 kg de tomate. Eu meço a massa (o “peso”) e concluo que ele deve levar três tomates, como na figura anterior. Logo depois dele sair, vamos imaginar (só em sonho mesmo não é?) que apareça em minha banca (lembre-se que eu sou o feirante) a moça que está logo a seguir.

Então, eu resolvo fazer o agrado para a moça e quando vou medir usando o mesmo peso de 1 kg, para ela eu dou seis tomates, como mostrado na figura a seguir.

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Aqui o ‘peso’ de 1 kg deu outra medida

Você percebe como agora o mesmo 1 kg gerou duas medidas? É aí que existe um problema. Um peso não deveria gerar duas medidas. Sendo assim senhores (as), não há nenhum problema em se ter dois pesos e duas medidas. O problema é ter UM PESO e DUAS MEDIDAS.

Tudo de bom
Luís Cláudio LA