Você sabe dividir? Conhece o algoritmo da divisão?

Das quatro operações básicas da aritmética a divisão é a que os estudantes mais têm dificuldade. E você sabe dividir? Será? Bom, antes de ver o vídeo seguinte onde falamos sobre isso, tente encontrar quanto é

  • $9001\div 3$ com aproximação decimal, ou seja, com uma casa após a vírgula.
  • $1224\div 12$

Depois de tentar, confira o resultado e depois, caso queira, deixe o seu comentário abaixo.

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Tudo de bom
Luís Cláudio LA

Como reconhecer quadrados perfeitos por decomposição em fatores primos e extrair sua raiz quadrada

Esse é sempre um problema em sala de aula principalmente para alunos que não dominaram ainda as propriedades de potências. Por exemplo: se depois de decompor um número em fatores primos, se chegamos em $2^4.3^2.5^6$ então podemos dizer que estamos diante de um quadrado perfeito? Por quê? Ele é quadrado de qual número? É sobre isso que conversamos no vídeo seguinte.

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Fique à vontade para comentar, perguntar etc.

Tudo de bom
Luís Cláudio LA

Raiz quadrada de quadrados perfeitos por tentativa e erro

A raiz quadrada de um número $x$ é um número $y$ se $y^2=x$, certo? Usamos o símbolo $\sqrt{\Box}$ para representar a raiz positiva de um número $\Box$. Há um algoritmo para cálculo da raiz quadrada que lembra um pouco aquele da divisão que poderá ver AQUI.

No vídeo seguinte falamos sobre esse conceito de raiz quadrada, mas usamos a definição de raiz quadrada para procurar o número que mais se aproxima do que queremos. É sobre isso que falamos no vídeo seguinte.

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Fique à vontade para comentar, perguntar etc.

Tudo de bom
Luís Cláudio LA

Decimais finitos com raiz quadrada que também são decimais finitos

Um número racional possui uma representação decimal e esta pode ser finita ou infinita. Por exemplo: $\frac13$ tem uma representação decimal infinita pois ao dividirmos 1 por 3 encontraremos uma dízima periódica $0,3333\cdots$. Entretanto, a fração $\frac14$ já tem uma representação decimal finita, pois podemos escrevê-lo como $0,25$.

Ao escrevermos algumas raízes quadradas também podemos nos deparar com uma representação decimal finita ou infinita. Por exemplo: a raiz quadrada de 2 possui uma representação decimal infinita não periótica, ou seja, não há um conjunto de algarismos que repetem.

$$\sqrt{2}\approx 1.414213562373095\cdots$$

Já há outras que a representação decimal é finita, como é o caso de $\sqrt{1,21},\,\sqrt{1,44}$ e assim por diante. É disso que o vídeo seguinte fala.

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Fique à vontade para comentar, perguntar… 🙂

Tudo de bom
Luís Cláudio LA

Sobre o formato da Terra

Para uma melhor compreensão e exploração do assunto tratado neste artigo, sugiro que tenha instalado em seu computador o software GeoGebra que pode ser transferido a partir de http://www.geogebra.org/download . Não de preocupe. Não terá que construir nada. Apenas explorar.

Quem nunca ouvir dizer que a Terra é achatada nos polos e viu uma imagem semelhante à que se encontra abaixo?

Fonte: http://goo.gl/dXEdmO

Fonte: http://goo.gl/dXEdmO

A Terra de fato É achatada nos polos, mas o desenhos como o que está acima (e livros estão cheio deles) dão a impressão de que esse oval é perceptível, mas talvez não seja. Se olhar a Terra do espaço é bem provável que verá uma imagem semelhante àquela que está a esquerda no desenho anterior e vou deixar você experimentar esta visão.

Antes de prosseguir, uma rápida nota sobre o fato do raio ser maior no Equador em função da força centrífuga que o movimento de rotação da Terra produz e pode ser algo interessante de ser explorado pelo professor de Física e Geografia. 🙂 No link que aponto como fonte da figura acima encontrará um pouco mais de informações sobre isso.

Um elipsoide que é praticamente uma esfera

Hoje eu sei que essa forma oval é chamada de Elipsoide. No caso da Terra é sabido que ela é um elipsoide com o raio polar (de 6.357 km) ao raio equatorial (6.378 km). Como pode ver, de fato o raio polar é menor que o raio equatorial em 21 km. Isso mesmo, apenas 21 km de diferença. O desenho seguinte foi feito com o software GeoGebra e é um elipsoide com as mesmas características da Terra, ou seja, raio equatorial e polar como descritos acima.

Captura de tela 2015-07-20 09.47.12

Ela é achatada nos polos, mas isso é visível como as imagens que vemos deixa parecer?

Esse desenho acima está estático mas você pode movimentá-lo no GeoGebra se transferir ESTE ARQUIVO. Segura o botão do lado direito do mouse e arraste para mudar a visualização. Ao girar a rodinha do mouse poderá aproximar ou distanciar do desenho.

Na imagem seguinte colocamos a Terra Real (vamos assim chamar) e a Terra Esférica considerando o raio equatorial como o raio da esfera.

TerraReal02

O azul é a representação real da Terra como um elipsoide de raio polar e equatorial como no texto e o vermelho é uma esfera com raio equatorial

Interaja com esta construção baixando o arquivo do GeoGebra (CLIQUE AQUI PARA TRANSFERIR). Depois de abrir o arquivo clique com o botão do lado direito do Mouse e arraste para mudar o ponto de vista.

E aí? Ainda acha que o “achatado nos polos” é visível? E quanto à órbita da Terra em torno do Sol? Ela dificilmente seria uma circunferência pois mesmo que fosse de 1 metro a distância entre os focos da elipse isso faria da órbita uma elipse e não uma circunferência. De fato é uma elipse, mas os focos são muito próximos um do outro e assim como o formato de esfera da Terra, a órbita de nosso planeta é uma elipse praticamente circunferência, mas isto é assunto para outro momento.

Epílogo

Para aqueles mais interessados em matemática e parametrizações, aqui vai algumas poucas palavras. O elipsoide é uma das superfícies quádricas estudadas em disciplinas de Geometria Analítica ou em um dos Cálculos e ela constitui o lugar geométrico dos pontos (x,y,z) em R³ que satisfazem a equação

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$

para uma situação como ilustra a figura seguinte.

Há construções que se inspiram nesta forma. Vejam alguns exemplos:

Tudo bem, ela se parece bastante com um disco voador. 🙂

ou esta seguinte

A imaginação é o limite

Você sabia?

Você sabia que um dos ossos que temos nas mãos também tem esse nome (elipsoide)? A seguir há uma imagem obtida a partir de

Observe o formado de elipsoide da parte inferior.

 

Parametrizações para o GeoGebra

É importante saber escrever algumas parametrizações caso queira construir o desenho de algumas superfícies. O GeoGebra possui um comando para gerar superfícies 3D a partir de parametrizações. Sendo assim, caso queira construir alguns tipos de superfícies, é necessário que saiba lidar com as parametrizações.

No caso do elipoide para a Terra Real (levando em conta o raio equatorial e o raio polar) fizemos o seguinte.

>>1 Criei as variáveis rp (para raio polar) e re (para raio equatorial) com os valores 6.357 e 6.378. Para isto basta entrar no CAMPO DE ENTRADA com rp=6357 (aperte ENTER) e re=6378 (aperte enter).

>>2 Uma parametrização para a elipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ é $x=a.\sin(\phi).\cos(\theta)$, $y=b.\sin(\phi).\sin(\theta)$ e $z=c.\cos(\phi)$. Note que $x, y$ e $z$ satisfazem a equação do elipsoide.

>>3 Sabendo que o comando de entrada no GeoGebra tem a forma

Superfície[ <Expressão>, <Expressão>, <Expressão>, <Variável 1>, <Valor Inicial>, <Valor Final>, <Variável 2>, <Valor Inicial>, <Valor Final> ]

não é difícil perceber que a parametrização para produzir a Terra Real será

Superfície[re*sen(phi)*cos(theta), re*sen(phi)*sen(theta), rp*cos(phi), phi, 0, pi, theta, 0, 2*pi]

Para a Terra Esférica eu só desloquei o “y” 15.000 unidades para a direita ficando com

Superfície[re*sen(phi)*cos(theta), re*sen(phi)*sen(theta)+15000, re*cos(phi), phi, 0, pi, theta, 0, 2*pi]

Foi desse modo que o desenho dos elipsoides e esfera foram construídos usando parametrização de superfície.

Bom, essa postagem está ficando com um texto muito longo. Depois proseamos mais. 🙂

Tudo de bom
Luís Cláudio LA

 

Sobre o cálculo do número de pessoas em manifestações

protesto-brasilia

Quantas pessoas você estima que há aí?

 

Hoje, 13 de março de 2016, ocorreram várias manifestações pelo Brasil e continuam aparecendo números oficiais e dos organizadores muito diferentes. Que tal você mesmo fazer as suas estimativas?

As vezes há muita discrepância entre os números apresentados e há variáveis que não são explicitadas. Por exemplo: as pessoas nas adjacências foram levadas em conta ou só aqueles que estavam na rua? Qual a densidade está sendo considerada? Sim, isso é importante. O número de pessoas por metro quadrado que está se considerando é importante. Observe a imagem seguinte

Pessoasm2

É razoável pensar em uma densidade de 5 pessoas por m² como, aparentemente, a polícia de São Paulo estimou? A resposta a isso vai depender de pessoa para pessoa. A não ser que alguém tenha mais informações para que se leve a crer que esse número era razoável. Poderíamos ter várias fotos da aglomeração e a partir daí faríamos uma estimativa mais calcada na realidade. Algo como se vê na próxima figura seguinte que mostra uma situação onde se tem uma densidade de 5 pessoas por m².

3

Figura original em: http://clubedacultura.com/fev/fv2/images/artst/8/3.gif

Bom, decidido qual a densidade o próximo passo seria estimar a área ocupada. Isso pode ser feito nos dias atuais com o Google Earth, por exemplo e a ferramenta caminho poligonal. Se estiver usando apenas o Google Earth grátis, não tem uma ferramenta para calcular área. Aí precisaria carregar a imagem em um software para lhe ajudar com esse trabalho. O GeoGebra, por exemplo. Com as poligonais do GeoGebra podemos saber o tamanho de cada segmento e depois disso seria só calcular a área da região delimitada pelo polígono. Para isso poderia triangularizar a região e usar a fórmula de Herão para encontrar a área de cada triângulo. A soma das áreas desses triângulos seria a área da região. Outra opção seria você não ser tão rigoroso com os locais onde as pessoas estão e colocar a poligonal de um modo que ela forme retângulos e aí é mais fácil encontrar a área da região delimitada pela poligonal.

Ícone do Google Earth

Entretanto, nada disso que foi falado no parágrafo anterior é necessário hoje em dia. O Google disponibilizou a versão PRO do Google Earth e uma das ferramentas que há lá é a de calcular perímetro de poligonais e área de regiões delimitadas por elas. Com isso, qualquer um pode fazer a estimativa de quantas pessoas há em uma região com esta ou aquela densidade.

Para baixar o Google Earth Pro visite ESTE ENDEREÇO e baixe o software. Quando terminar a instalação abrirá uma janela onde pedirá a você o seu email e a sua licença. No campo licença entre apenas com a palavra GEPFREE como está escrito no lado direito da página que será levado pelo link anterior. Lá diz assim:

 

[cryout-pullquote align=”left|center|right” textalign=”left|center|right” width=”33%”]Observação: o Google Earth Pro requer uma chave de licença. Se você não possui uma chave, use seu endereço de e-mail e a chave GEPFREE para fazer login. [/cryout-pullquote]

Vale observar que isso pode ser algo temporário. Não posso dizer que a licença livre estará disponível para sempre. Pode ser que em algum momento o link anterior não funcione mais, ok? Hoje, 15/03/2015 funcionou.

Bom, feito isso, clique em uma pequena régua vertical que está ao lado de um ícone de um pequeno planeta. Veja a imagem seguinte.

´ReguinhaNa nova janela que aparecerá, selecione a guia POLÍGONO. Verá que poderá ver o perímetro e a área da região que demarcar. Eu fiz uma estimativa para as pessoas que estavam em Brasília na praça dos três poderes. Veja como ficou.

CalculoNumeroManifestantes

Obs.: o que vê em vermelho eu coloquei no Corel Draw.

Onde esta poligonal ficará você decide. Eu coloquei o gramado do congresso e o estacionamento ao lado do STJ, mas você pode achar que não havia uma quantidade significativa de pessoas ali e querer mudar o ponto de posição. Você manda. A área que eu cerquei o Google Earth PRO está dizendo que tem uma área de 93230 m². Assim, o número médio de pessoas ali será de

  • 93.230 se considerar a densidade de 1 pessoa por m² (arredondaria para 93 mil)
  • 186.460 se considerar a densidade de 2 pessoa por m² (arredondaria para 185 mil)
  • 279.690 se considerar a densidade de 3 pessoa por m² (arredondaria para 280 mil)

Agora, faça você a estimativa do número de pessoas na manifestação de sua cidade ou da cidade que quiser. Se quiser comentar dizendo o que foi veiculado e o que encontrou, fique a vontade para fazer isso aqui ou em nossa página no Facebook: www.facebook.com/mipedes

Tudo de bom
Luís Cláudio LA

 

 

Sobre o Teorema de Pitágoras

Pitágoras

Pítágoras é conhecido como o “pai” de um teorema famoso que diz que em um triângulo retângulo (aquele que possui um ângulo de 90 graus) o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos. Entretanto a contribuição desse filósofo e matemático não está apenas no campo da matemática.

Nesse desenho antigo do Pato Donald podemos ver que falam de um Pitágoras que é ligado também a música. O vídeo é bem pequeno. Vale a pena ver

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Neste artigo vamos falar sobre a contribuição de Pitágoras para a matemática. Na verdade, não se saber se foi ele o autor da percepção da relação entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Para saber um pouco mais sobre Pitágoras, CLIQUE AQUI.

Veja a ilustração seguinte.

A área do quadrado maior deve ser igual a soma das áreas dos quadrados menores.

 

Vamos experimentar? O que o GeoGebra permite, através do applet seguinte é essa experimentação. Arraste um dos pontos A, B ou C e veja o que acontece com a relação entre o quadrado da medida da hipotenusa ($a^2$) e a soma dos quadrados das medidas dos catetos ($b^2+c^2$).

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Sabe o que é mais interessante? Ele também é válido se outros polígonos estiverem apoiados no lado do triângulo retângulo, ou seja, se houver um pentágono regular cujo lado mede igual à medida da hipotenusa, então a área do pentágono maior será igual a soma das áreas dos pentágonos menores. Não entendeu? Experimente a seguinte construção:

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 Arraste os pontos A, B ou C e veja o que ocorre com a relação entre a área do polígono maior e a soma das áreas dos polígonos menores (entenda maior e menor em termos de área). Você verá nesta ilustração que a soma das áreas dos polígonos menores dará a área do polígono maior.

Isso também é válido em outra situação. A que não envolve polígono e sim um semicírculo. Veja a ilustração seguinte e depois de arrastar os pontos A, B ou C, verifica que a área do semicírculo maior é igual a soma das áreas dos semicírculos menores.

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Vamos finalizar esse artigo tentando fazer uma demonstração simples a partir de uma construção. A partir de quatro cópias de um triângulo retângulo vamos construir um quadrado. A ilustração seguinte em um applet permite que você veja, de forma dinâmica, esta construção mencionada.

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Nesta construção, marcas iguais indicam medidas iguais. Apenas usando palavras veja se é claro para você que:

A área dos quatro tiângulos mais a área do quadrado branco dá a área do quadrado maior (AFIE). É verdade? Pois bem.

  • Área de cada triângulo retângulo: $\frac{b\cdot c}{2}$
  • Área do quadrado branco: $a^2$
  • Área do quadrado AFIE: $(a+b)^2$

Então, como a área dos quatro triângulos mais a área do quadrado branco dará a área do quadrado AFIE então

$$4\cdot \frac{b\cdot c}{2}+a^2=\color{blue}{(b+c)^2}$$

ou seja

$$2\cdot b\cdot c+a^2=\color{blue}{b^2+2\cdot b\cdot c+c^2}$$

Cancelando os termos iguais em ambos os membros da igualdade ($2\cdot b\cdot c$) ficaremos com

$$a^2=b^2+c^2$$

que é precisamente o que diz o teorema de Pitágoras (em sua versão mais conhecida).

Há outras demonstrações. Para o Teorema de Pitágoras são conhecidas mais de 350 demonstrações diferentes. Quer ver mais uma? Observe o próximo applet? Ele apresenta uma situação semelhante à anterior, mas nele você pode movimentar os triângulos. Para isto, basta arrastar o seletor escrito “Mova-me”.

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Com o seletor “Mova-me” todo a esquerda você tem um quadrado grande e dois quadrados brancos, certo? Concorda que a área de um quadrado branco é $b^2$? É a mesma medida da base do triângulo retângulo marrom. O outro quadrado branco tem área $b^2$, que é a mesma altura do triângulo retângulo marrom.

Então, é correto dizer que se pegarmos a área do quadrado maior e dele retirarmos as áreas dos triângulos coloridos restarão as áreas dos quadrados brancos, certo? Essa área será de $b^2+c^2$, correto? (É a soma das áreas dos quadrados brancos).

Agora, mova o seletor “Mova-me” para a direita. Agora o quadrado branco tem área $a^2$, certo? Isto se dá por conta de que o lado desse novo quadrado branco tem lado de medida “a”, que é a hipotenusa do triângulo retângulo. Do mesmo modo que antes, se retirarmos do quadrado maior os triângulos coloridos restará apenas o quadrado branco de área $a^2$.

Ora, retiramos nos dois casos da área de um quadrado maior os triângulos coloridos. Em um obtivemos como resultado $a^2$ e para o outro $b^2+c^2$. Essas áreas devem ser iguais, não? Ou seja, $$a^2=b^2+c^2$$

e chegamos mais uma vez ao Teorema de Pitágoras. É interessante o leitor ficar atento para as chamadas demonstrações sem palavras (essas que se faz movimentando peças de um lado para o outro). Embora em muitos casos os argumentos são verdadeiros, há situações em que sua visão pode ser enganado com argumentos que levam você a conclusões não corretas. Um exemplo simples disso está no fato de que movimentando as peças coloridas na figura abaixo podemos desaparecer com uma unidade de área e isso não é verdade. Veja na imagem seguinte uma ilustração do que estou falando.

 

Consegue explicar o aparecimento desse buraco?

 

Grande abraço
Luís Cláudio LA

Divisão de frações…

Quantas vezes o $\frac14$ cabe em $\frac12$?

Neste artigo, com um vídeo ao final, vamos falar sobre divisão de frações. A pergunta que queremos responder é:

o que precisa ser feito para encontrar o resultado da divisão entre duas frações?

Aqui a visualização já não fica tão evidente como no caso da adição, subtração ou divisão, mas mesmo assim podemos tentar. Olhe a figura no início do artigo. Encontrar quantas vezes o $\frac14$ cabe em $\frac12$ é o mesmo que encontrar o resultado da divisão $$\frac{\frac12}{\frac14}$$

Visualmente você percebe que a resposta será 2, certo? Precisamos de dois azuis para se ter um amarelo (será que aquilo ali é amarelo?). Então, como podemos chegar até o 2, nessa divisão de frações, a partir de $\frac14$ e $\frac12$? O que preciso fazer com os elementos desta fração?

Por exemplo: se eu quero encontrar o resultado da divisão de 48 por 6 eu quero saber quantas vezes o 6 cabe no 48 ou seja, quero saber qual a quantidade $\Box$ que dará o resultado da divisão, ou seja, $$\frac{48}{6}=\Box\;\;\Leftrightarrow\;\;\Box\cdot 6 = 48$$ isto é, procuramos um número que multiplicado por 6 dá 48. Esse número é o 8, correto? Posso dizer também que em 48 cabem 8 vezes o 6.

Vamos pensar de forma genérica? Suponha que uma fração seja $\frac{a}{b}$ e a outra seja $\frac{x}{y}$. Como eu encontro o resultado da divisão destas duas frações? O que preciso fazer para descobrir qual o quociente. Se chamarmos esse resultado de $\Box$, então podemos dizer que $$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{x}{y}}=\Box$$ e sabemos que $$\Box \cdot \frac{x}{y}=\frac{a}{b}$$ não é mesmo?

E então, como encontrar o $\Box$? 🙂 É sobre isso que falamos no vídeo seguinte.

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Tudo de bom
Luís Cláudio LA

Adição e subtração de frações…

Vamos entender o por quê?

Aqui falaremos sobre adição e subtração de frações. É muito comum encontrar alunos que querem adicionar frações adicionando numeradores e denominadores separadamente. Algo como dizer $\frac{3}{5}+\frac{2}{10}$ dando como resultado $\frac{3+2}{5+10}=\frac{5}{15}$. Isso não é correto. Para adicionar frações é necessário que os denominadores sejam iguais, ou seja, que você esteja adicionando partes de igual tamanho e é sobre isso que o vídeo seguinte fala.

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Tudo de bom
Luís Cláudio LA