O método tabular para integração por partes

Se você é estudante de nível superior na área de exatas, em algum momento passará pelo método de integração chamado integração por partes. O método consiste em reescrever a integral de um produto do seguinte modo $$\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v\cdot du.$$ Observe que este não é um método que lhe dá a solução da integral, mas permite você trocar o problema de resolver um problema pelo problema de resolver outra integral (que se espera ser mais simples que o primeiro).

Pois bem, no vídeo seguinte explicamos como podemos usar esse método, mas distribuindo as informações em uma tabela. Chamaremos esse processo de método tabular o de tabelas.

Além de explicar o método, usamos a intetral $$\int e^{3x}\cdot x^2\,dx$$ na ilustração do método.

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Raiz quadrada de quadrados perfeitos por tentativa e erro

A raiz quadrada de um número $x$ é um número $y$ se $y^2=x$, certo? Usamos o símbolo $\sqrt{\Box}$ para representar a raiz positiva de um número $\Box$. Há um algoritmo para cálculo da raiz quadrada que lembra um pouco aquele da divisão que poderá ver AQUI.

No vídeo seguinte falamos sobre esse conceito de raiz quadrada, mas usamos a definição de raiz quadrada para procurar o número que mais se aproxima do que queremos. É sobre isso que falamos no vídeo seguinte.

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Fique à vontade para comentar, perguntar etc.

Tudo de bom
Luís Cláudio LA

Multiplicação de frações…


Você sabe por que em multiplicação de frações se multiplica o numerador com o numerador e denominador com o denominador? Para entender isso, que tal ver uma ilustração usando o GeoGebra?

Caso queira ver a explicação sobre isso leia este artigo ou vá até o final para ver um vídeo onde falamos sobre multiplicação de frações.

Vamos aos fatos e vejamos se conseguimos entender. Se esforce para compreender.

Em primeiro lugar, lembre-se que uma fração faz referência a partes de mesmo tamanho. Por exemplo: se escrevemos $\frac{2}{3}$ estamos dizendo que de um total de três partes IGUAIS tomamos duas. Se escrevemos $\frac{2}{7}$ estamos dizendo o inteiro foi dividido em 7 partes IGUAIS e destas, tomamos duas.

Pois bem, considere agora duas frações: $\frac{2}{5}$ e $\frac{3}{4}$

mostradas na figura seguinte.

Representação das frações 2/5 e 3/4, respectivamente.

O inteiro considerado aqui (para facilitar a compreensão) tem a forma de um quadrado, mas poderia ter qualquer qualquer outra (retângulo, disco,  cubo, pirâmide etc). A fração $\frac{2}{5}$ representa duas partes IGUAIS de um total de 5 (em azul). Olhe o desenho anterior e certifique-se que entendeu isso. A outra fração (figura direita) representa 3 partes de um total de 4 (em amarelo).

A pergunta que deve entender é a seguinte: quanto é três quartos de dois quintos? Ou seja, quanto é $\frac{3}{4}$ de $\frac{2}{5}$? Coloque em sua mente que em matemática esse “de” representa depois de uma matematização, “vezes”. A nossa pergunta então é: quanto é

$$\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}$$

O que faremos para obter esse número? Vamos olhar apenas para a parte que está pintada em azul. Essa parte representa a fração $\frac{2}{5}$. Queremos marcar agora três quartos desta parte azul. Para isso, precisamos dividi-la (a azul) em quatro partes e dessas tomaremos três, correto?

Lembre-se do que já deve ter estudado nas aulas de Artes (ou Ciências Naturais): ao misturar as cores (pigmento) azul com amarelo o resultado é a cor verde. Vamos marcar com esta cor os $\frac{3}{4}$ da cor azul. Teremos algo como mostra a figura seguinte.

A parte verde representa 3/4 de 2/5 (que está azul)

 

Agora, note que a parte que está em verde representa três quartos da parte azul (que é dois quintos). Em símbolos matemáticos a parte verde representa

$$\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}$$

Agora, qual é a parte do inteiro que é representado pela parte verde? Isto é,  o que está em verde é que parte do todo (o quadrado). Observe que agora as partes estão de tamanho diferentes. Precisamos fazer com que elas fiquem com o mesmo tamanho. Como fazer isso?

Simples, prolongue as divisas que estão sobre a parte verde e você agora terá o inteiro (o quadrado) dividido em partes iguais. Note  que o inteiro (o quadrado) ficou dividido em 20 partes (veja figura seguinte). O que está em verde corresponde, então, a 6 partes de um total de 20, ou seja, $\frac{6}{20}$.

A parte verde representa 6 partes de um total de 20

Daí,

$$\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}=\frac{6}{20}$$.

Simples, não é? Entretanto, não podemos depender de figuras para determinar o produto. Qual pode ser então o procedimento para se obter a fração produto (resultado da multiplicação)? Repare que

$$\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}=\frac{3\times 2}{4\times 5}=\frac{6}{20}$$

isto é, multiplicamos o numerador com o numerador e o denominador com o denominador. Experimente reproduzir essa ideia com outras frações e verá que o resultado será sempre obtido desta forma (produto entre os numeradores dividido pelo produto entre os denominadores).

Para ver várias outras ilustrações, no applet seguinte você pode arrastar qualquer dos pontos formando novas frações. Feito isso, arraste o ponto AZUL levando o desenho da direita para junto do que está à esquerda, ou seja, arraste a bola azul que está no canto esquerdo superior do quadrado que aparece do lado direito e sobreponha as figuras. Assim visualizará para várias situações o que discutimos.
Para modificar as frações envolvidas, arraste os pontos que estão com os números logo acima.

O produto de frações é a parte pintada da primeira fração que está sobre a parte pintada da segunda, ou seja, é a interseção entre as duas partes pintadas.

Obs.: para que veja o resultado da multiplicação, clique na caixa SOLUÇÃO.

Este recurso foi construído originalmente por Markus Hohenwarter e editado por Luís Cláudio LA
Viu como é simples? Note que não foi por definição que chegamos ao fato que para multiplicar frações devemos multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador. Isto é um fato que primeiro foi observado e depois se pensou em uma forma rápida de se chegar até o resultado sem precisar usar figuras.

Entretanto, se for adicionar duas frações, verá que não se pode adicionar numeradores e denominadores. Há um porquê também, mas isso ficará para um outro artigo.

Você pode deixar seus comentários/dúvidas etc. no campo a seguir e também ver um vídeo onde explico sobre esse assunto logo a seguir.

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Um grande abraço a todos.
Luís Cláudio LA

O Segundo Teorema Fundamental do Cálculo

1oTeoFunCalculo

A curva pontilhada é da função $y=f(x)$ e o conjunto de pontos azuis estão sobre o gráfico da primitiva $y=F(x)$.

O segundo Teorema Fundamental do Cálculo nos diz a “cara” da primitiva de uma função qualquer. É possível mostrar que se $y=f(t)$ é contínua em $[a,b]$ então

$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=F(x)$$

e que esta resposta não depende do ponto $a$ (desde que este seja um ponto de continuidade – pelo menos lateral). Por esse motivo nós poderíamos escrever apenas

$$\frac{d}{dx}\int^{x}f(t)\,dt=F(x)$$

ou simplesmente, como é utilizado hoje,

$$\frac{d}{dx}\int f(x)\,dx=F(x)$$

ou seja, o símbolo $\int f(x)\,dx$ representa uma função que quando derivada dá a função f(x) e isso é o que chamamos de primitiva da função $y=f(x)$, ou seja, o símbolo $\int f(x)\,dx$ representa a primitiva $F(x)$ de $f(x)$ e escrevemos

$$\int f(x)\,dx=F(x)+C$$

A seguir deixamos uma construção feita com o GeoGebra onde você pode movimentar um ponto T sobre o eixo x. Ao fazer isso um ponto se moverá deixando um rastro. Esse conjunto de pontos estão sobre o gráfico de uma primitiva de $y=f(x)$. O legal dessa construção é que você pode ver até onde fica o gráfico da primitiva de uma função onde a primitiva não é elementar. É o caso de $$F(x)=\int e^{x^2}\,dx$$ cuja primitiva não pode ser escrita em termo das funções conhecida como constante, identidade, as trigonométricas, logaritmos, exponenciais e inversas de trigonométricas. Mesmo assim você poderá ver como é o formato do gráfico da primitiva. Logo depois desta construção há um vídeo onde falamos sobre isso.

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Falamos sobre isso no vídeo seguinte. Coloque-0 em tela cheia se ficar difícil de ver o quadro. 🙂

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Tudo de bom
Luís Cláudio LA

O Teorema do Valor Médio

Como encontrar o valor de c?

Você conhece o Teorema do Valor Médio? Bom, você vai tomar conhecimento dele se fizer um curso de Cálculo 1 e talvez o veja novamente em Cálculo 2. O teorema diz que

Se $y=f(x)$ é uma função contínua em $[a,b]$ e derivável em $(a,b)$ então existe $c\in (a,b)$ tal que $$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Em outras palavras, olhando para o aspecto geométrico, ele diz, basicamente, que se você tem uma função contínua em um intervalo $[a,b]$, derivável em $(a,b)$ e uma reta passando por $A=(a,f(a))$ e $B=(b,f(b))$ então há (pelo menos) um ponto entre $a$ e $b$ onde a reta tangente ao gráfico é paralela a reta que passa por $[a,b]$. O applet (eu não sei se esse nome é masculino ou feminino… talvez seja “A applet”) seguinte permite que você explore esse conceito. Arraste o ponto sobre a curva, modifique o intervalo, a função e entenda o que quer dizer o resultado do teorema.

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 Talvez um vídeo com explicações sobre esse teorema lhe ajude a entender melhor.

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 Como corolário (resultado que decorre de um principal) desse teorema temos:

  1. Já sabemos que se uma função é constante a derivada é zero. Com o Teorema do Valor Médio podemos dizer que a recíproca também é verdadeira, ou seja, se uma função tem derivada zero em um intervalo então ela é constante neste intervalo também.
  2. Se duas funções têm a mesma derivada, então elas diferem uma da outra apenas por constantes. Em outras palavras, se $F'(x)=f(x)$ e $G'(x)=f(x)$ então $F(x)-G(x)=C$ ou seja, $F(x)=G(x)+C$ em que $C\in \mathbb{R}$. Por isso, quando escrevemos $$\int f(x)\cdot dx=G(x)+C$$ estamos falando da família de todas as funções cuja derivada dará $f(x)$ pois não há primitiva de $f(x)$ fora desta família, mesmo que aparentemente elas sejam diferentes. Sobre isso, escrevi um pequeno artigo neste blog sobre este assunto. Faça uma visita a ele CLICANDO AQUI.

Bom, por agora é isso.

Tudo de bom
Luís Cláudio LA

Monômios e operações…

François Viète

Operações com monômios é algo que você precisará em sua vida acadêmica para sempre se for estudar algo ligado a área de exatas. Caso vá para outra área, pelo menos até o término do ensino médio precisará. Trata-se de operar com números desconhecidos. Usamos letras para representar esses números. Essa “linguagem” (vamos assim dizer) foi criada por um Francês chamado François Viète (1540-1603) no século 1500. Até então a matemática era toda “falada”. Essa forma de lidar com a matemática não favorecia muito o seu desenvolvimento. Depois da “criação” de Viète a matemática, e por tabela várias ciências, puderam se desenvolver com uma velocidade nunca vista antes.

 

Partes de um monômio e definição

Isso é bem simples. Você precisa saber que há duas partes importantes: a parte Literal (de Letra) onde estão os números desconhecidos. A outra parte é chamada de Coeficiente. Veja uma explicação falada no vídeo seguinte onde também é falado sobre a definição, ou seja, o que são monômios? (Coloque em tela cheia se achar a imagem pequena)

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Monômios Semelhantes

Esse é o nome dado a dois ou mais monômios que têm a mesma parte literal. Veja essa explicação falada no vídeo seguine.

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 Adição e subtração

Pois é, adicionar e subtrair monômios são ações bem simples. O que precisa entender é que só se faz simplificação quando os monômios são semelhantes e a simplificação se dá conservando a parte literal e adicionando ou subtraindo os coeficientes. Essa explicação é a que encontrará no vídeo seguinte.

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 Multiplicação de Monômios

Para multiplicar monômios você precisa lembrar de que a ordem dos fatores não altera o produto e de que em produto de potências com a mesma base conservamos a base e adicionamos os expoentes. Além disso em algumas vezes precisa saber que potência de potência você deve conservar a primeira base e multiplicar os expoentes, ou seja, usando a linguagem que Viète desenvolveu podemos escrever assim:

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}\;\;e\;\;(a^m)^n=a^{m\cdot n}$$

De posse desse conhecimento, multiplicar monômios é moleza. Veja a explicação em vídeo sobre esse assunto a seguir.

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 Divisão de monômios

Também é bem simples desde que você se lembre do que precisa fazer quando se tem divisão de potências com a mesma base, ou seja, conserva a base e subtrais os expoentes. Usando a linguagem que o Viète criou podemos escrever assim:

$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

O vídeo seguinte é sobre esse assunto. Veja como é simples. 🙂

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 Sabendo tudo isso já é um bom começo. 🙂 Certinho?